Lesson 4: 얽힘의 활용 - 양자 정보와 계산 이해하기

이 글은 양자 정보와 계산에 대한 네 번째 강의로, 얽힘(entanglement)을 활용한 세 가지 중요한 예시를 다룹니다: 양자 순간이동(quantum teleportation), 초밀도 코딩(superdense coding), 그리고 CHSH 게임입니다.

Alice와 Bob

Alice와 Bob은 정보 교환이 포함된 시스템, 프로토콜, 게임에서 가상의 개체나 에이전트에 주어진 이름입니다.

• Alice와 Bob은 서로 다른 위치에 있다고 가정됩니다.
• 그들이 수행하는 구체적인 역할은 상황에 따라 명확히 해야 합니다.
• 필요에 따라 추가 인물(예: Charlie, Diane, Eve, Mallory)을 도입할 수 있습니다.

용어 설명: Alice와 Bob

• 의미: 정보 교환 프로토콜에서 사용되는 표준 가상 인물 이름
• 발음: "앨리스"와 "밥"
• 역할:
  • Alice: 일반적으로 송신자(sender) 역할
  • Bob: 일반적으로 수신자(receiver) 역할
• 사용: 암호학, 양자 정보, 게임 이론 등 다양한 분야에서 사용됩니다.

얽힘에 대한 설명

Lesson 2에서 우리는 두 qubit의 얽힌 상태(entangled state)의 예시를 만났습니다:

$$\left|\phi^{+}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$$

또한 두 비트의 확률적 상태(probabilistic state)의 예시도 만났습니다:

$$\frac{1}{2}|00\rangle+\frac{1}{2}|11\rangle$$

양자 정보와 계산 연구에서 일반적으로 얽힘을 다양한 작업을 수행하는 데 사용할 수 있는 자원(resource)으로 봅니다.

이렇게 할 때, 상태 $\left|\phi^{+}\right\rangle$를 e-bit (이비트)라고 불리는 얽힘의 한 단위를 나타내는 것으로 봅니다.

용어

Alice와 Bob이 e-bit을 공유한다는 것은 Alice가 qubit A를 가지고 있고, Bob이 qubit B를 가지고 있으며, 함께 쌍 $(A, B)$가 상태 $\left|\phi^{+}\right\rangle$에 있다는 것을 의미합니다.

용어 설명: e-bit (이비트)

• 의미: Entanglement bit의 약자로, 얽힘의 한 단위를 나타냅니다
• 발음: "이비트" 또는 "e-bit"
• 정의: Bell 상태 $\left|\phi^{+}\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$가 1 e-bit을 나타냅니다
• 특징: 두 qubit의 물리적 상태이지만, 얽힘의 양은 1 e-bit입니다

Qiskit 구현 예제

다음은 Qiskit을 사용하여 얽힘의 활용에 대한 아이디어를 구현한 예제입니다.

from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister, ClassicalRegister
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit.visualization import plot_histogram, array_to_latex
from qiskit.result import marginal_distribution
from qiskit.circuit.library import UGate
from numpy import pi, random

이 노트북에서는 양자 순간이동, 초밀도 코딩, CHSH 게임을 Qiskit으로 구현하는 방법을 다룹니다.

양자 순간이동 (Quantum Teleportation)

양자 순간이동(quantum teleportation) 또는 단순히 순간이동(teleportation)은 송신자(Alice)가 공유된 얽힌 양자 상태(구체적으로는 1 e-bit)와 두 비트의 고전 통신을 사용하여 qubit을 수신자(Bob)에게 전송하는 프로토콜입니다.

시나리오

Alice가 Bob에게 전송하고자 하는 qubit $Q$를 가지고 있습니다.

• Alice는 $Q$를 물리적으로 Bob에게 보낼 수 없습니다 — 고전 정보만 보낼 수 있습니다.
• Alice와 Bob은 e-bit을 공유합니다.

주의사항

• $Q$의 상태는 Alice와 Bob 모두에게 "알려지지 않았습니다".
• $Q$와 다른 시스템 간의 상관관계(얽힘 포함)는 전송에 의해 보존되어야 합니다.
• 복제 불가 정리(no-cloning theorem)는 Bob이 전송을 받으면, Alice가 더 이상 원래 상태의 qubit을 가질 수 없음을 의미합니다.

프로토콜

초기 조건

Alice와 Bob은 1 e-bit을 공유합니다: Alice는 qubit A를 가지고 있고, Bob은 qubit B를 가지고 있으며, $(A, B)$는 상태 $|\phi^+\rangle$에 있습니다.

Alice는 또한 Bob에게 전송하고자 하는 qubit Q를 가지고 있습니다.

프로토콜 단계

1. Alice는 Controlled-NOT 연산을 수행합니다. 여기서 Q는 제어(control)이고 A는 대상(target)입니다.
2. Alice는 Q에 대해 Hadamard 연산을 수행합니다.
3. Alice는 A와 Q를 측정하여 각각 이진 결과 $a$와 $b$를 얻습니다.
4. Alice는 $a$와 $b$를 Bob에게 보냅니다.
5. Bob은 다음 두 단계를 수행합니다:
   • 5.1 만약 $a = 1$이면, Bob은 qubit B에 X 연산을 적용합니다.
   • 5.2 만약 $b = 1$이면, Bob은 qubit B에 Z 연산을 적용합니다.

Bob이 수행하는 연산

연산	조건
$\mathbb{I}$	$ab = 00$인 경우
$Z$	$ab = 01$인 경우
$X$	$ab = 10$인 경우
$ZX$	$ab = 11$인 경우

분석

초기 상태를 $|\pi_0\rangle$라고 하면:

$$\begin{aligned} |\pi_0\rangle &= \frac{\alpha|000\rangle + \alpha|110\rangle + \beta|001\rangle + \beta|111\rangle}{\sqrt{2}} \\ |\pi_1\rangle &= \frac{\alpha|000\rangle + \alpha|110\rangle + \beta|011\rangle + \beta|101\rangle}{\sqrt{2}} \\ |\pi_2\rangle &= \frac{\alpha|00\rangle|+\rangle + \alpha|11\rangle|+\rangle + \beta|01\rangle|-\rangle + \beta|10\rangle|-\rangle}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

Hadamard 게이트 적용 후:

$$\begin{aligned} |\pi_{2}\rangle & =\frac{\alpha|00\rangle\left|+\right\rangle+\alpha|11\rangle\left|+\right\rangle+\beta|01\rangle\left|-\right\rangle+\beta|10\rangle\left|-\right\rangle}{\sqrt{2}} \\ & =\frac{\alpha|00\rangle(|0\rangle+|1\rangle)+\alpha|11\rangle(|0\rangle+|1\rangle)+\beta|01\rangle(|0\rangle-|1\rangle)+\beta|10\rangle(|0\rangle-|1\rangle)}{2} \\ & =\frac{\alpha|000\rangle+\alpha|001\rangle+\alpha|110\rangle+\alpha|111\rangle+\beta|010\rangle-\beta|011\rangle+\beta|100\rangle-\beta|101\rangle}{2} \\ & =\frac{1}{2}(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)|00\rangle+\frac{1}{2}(\alpha|0\rangle-\beta|1\rangle)|01\rangle+\frac{1}{2}(\alpha|1\rangle+\beta|0\rangle)|10\rangle+\frac{1}{2}(\alpha|1\rangle-\beta|0\rangle)|11\rangle \end{aligned}$$

측정 확률:

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(ab=00)&=\frac{1}{4}\|\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle\|^{2}=\frac{1}{4} \\ \operatorname{Pr}(ab=01)&=\frac{1}{4}\|\alpha|0\rangle-\beta|1\rangle\|^{2}=\frac{1}{4} \\ \operatorname{Pr}(ab=10)&=\frac{1}{4}\|\alpha|1\rangle+\beta|0\rangle\|^{2}=\frac{1}{4} \\ \operatorname{Pr}(ab=11)&=\frac{1}{4}\|\alpha|1\rangle-\beta|0\rangle\|^{2}=\frac{1}{4} \end{aligned}$$

모든 경우에 대해, Bob이 적절한 보정 연산을 수행한 후, qubit B는 원래 qubit Q의 상태 $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$를 가지게 됩니다.

용어 설명: Quantum Teleportation (양자 순간이동)

• 의미: 공유된 얽힘과 고전 통신을 사용하여 qubit을 전송하는 프로토콜
• 발음: "양자 순간이동" 또는 "quantum teleportation"
• 요구사항:
  • 1 e-bit의 공유 얽힘
  • 2 비트의 고전 통신
• 결과: qubit의 양자 정보가 완벽하게 전송됨

양자 순간이동 상세 설명

양자 순간이동은 양자 정보를 전송하는 프로토콜입니다. 이 프로토콜의 핵심은:

1. 알려지지 않은 상태 전송: qubit Q의 상태는 Alice와 Bob 모두에게 알려지지 않았습니다.
2. 상관관계 보존: Q가 다른 시스템과 얽혀 있다면, 그 상관관계도 보존됩니다.
3. 복제 불가: No-cloning theorem에 의해, 전송 후 Alice는 더 이상 원래 상태를 가지지 않습니다.

프로토콜이 작동하는 이유는 측정 결과가 완전히 무작위이기 때문입니다. Alice의 측정 결과는 Q의 상태에 대한 정보를 제공하지 않으며, 따라서 Q의 상태가 방해받지 않고 Bob에게 전송될 수 있습니다.

초밀도 코딩 (Superdense Coding)

초밀도 코딩(superdense coding)은 어떤 의미에서 순간이동과 상호 보완적인 목표를 달성하는 프로토콜입니다. 순간이동이 1 e-bit의 얽힘 비용으로 2 비트의 고전 통신을 사용하여 1 qubit을 전송하는 것을 허용하는 반면, 초밀도 코딩은 1 e-bit의 비용으로 1 qubit의 양자 통신을 사용하여 2 비트의 고전 통신을 전송하는 것을 허용합니다.

프로토콜

Alice와 Bob은 1 e-bit의 얽힘을 공유합니다: Alice는 qubit $\mathsf{A}$를 가지고 있고, Bob은 qubit $\mathsf{B}$를 가지고 있으며, 쌍 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$는 상태 $|\phi^+\rangle$에 있습니다.

Alice는 Bob에게 전송하고자 하는 두 고전 비트를 $c$와 $d$로 표기하며, 이를 1 qubit을 보내서 달성할 것입니다.

Alice의 동작

1. 만약 $d=1$이면, Alice는 qubit $\mathsf{A}$에 $Z$ 게이트를 수행합니다 (그리고 $d=0$이면 수행하지 않습니다).
2. 만약 $c=1$이면, Alice는 qubit $\mathsf{A}$에 $X$ 게이트를 수행합니다 (그리고 $c=0$이면 수행하지 않습니다).

그런 다음 Alice는 qubit $\mathsf{A}$를 Bob에게 보냅니다.

Bob의 동작

Bob이 qubit $\mathsf{A}$를 받으면, 먼저 Controlled-NOT 게이트를 수행합니다. 여기서 $\mathsf{A}$는 제어이고 $\mathsf{B}$는 대상입니다. 그런 다음 $\mathsf{A}$에 Hadamard 게이트를 적용합니다. 그런 다음 $\mathsf{B}$를 측정하여 $c$를 얻고, $\mathsf{A}$를 측정하여 $d$를 얻습니다. 두 경우 모두 표준 기저 측정을 사용합니다.

분석

이 프로토콜의 아이디어는 간단합니다: Alice는 효과적으로 Bob과 공유하고 싶은 Bell 상태를 선택하고, Bob에게 qubit을 보내면, Bob은 측정하여 Alice가 선택한 Bell 상태를 결정합니다.

즉, 그들은 초기에 $|\phi^+\rangle$를 공유하며, 비트 $c$와 $d$에 따라 Alice는 qubit $\mathsf{A}$에 $\mathbb{I}$, $X$, $Z$, 또는 $XZ$를 적용하여 이 상태를 그대로 두거나 다른 Bell 상태 중 하나로 이동시킵니다.

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) |\phi^+ \rangle & = |\phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) |\phi^+ \rangle & = |\phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) |\phi^+ \rangle & = |\psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) |\phi^+ \rangle & = |\psi^-\rangle \end{aligned}$$

Bob의 동작은 네 가지 Bell 상태에 대해 다음과 같은 효과를 가집니다:

$$\begin{aligned} |\phi^+\rangle & \mapsto |00\rangle\\ |\phi^-\rangle & \mapsto |01\rangle\\ |\psi^+\rangle & \mapsto |10\rangle\\ |\psi^-\rangle & \mapsto -|11\rangle\\ \end{aligned}$$

따라서 Bob이 측정을 수행하면 Alice가 선택한 Bell 상태를 결정할 수 있습니다.

용어 설명: Superdense Coding (초밀도 코딩)

• 의미: 1 qubit의 양자 통신으로 2 비트의 고전 정보를 전송하는 프로토콜
• 발음: "초밀도 코딩" 또는 "superdense coding"
• 요구사항:
  • 1 e-bit의 공유 얽힘
  • 1 qubit의 양자 통신
• 결과: 2 비트의 고전 정보 전송
• 이론적 배경: Holevo's theorem에 따르면, 공유 얽힘 없이는 1 qubit으로 1 비트 이상의 고전 정보를 전송할 수 없습니다.

초밀도 코딩 상세 설명

초밀도 코딩은 얽힘을 활용하여 고전 정보의 전송 용량을 두 배로 늘리는 프로토콜입니다.

Holevo's theorem (홀레보 정리): 공유 얽힘 상태를 사용하지 않으면, 단일 qubit을 보내서 1 비트 이상의 고전 정보를 전송하는 것은 불가능합니다. Holevo's theorem은 더 일반적이지만, 이것은 그 결과 중 하나입니다.

따라서 초밀도 코딩을 통해 공유 얽힘은 qubit을 보내는 것의 고전 정보 전달 용량을 효과적으로 두 배로 만듭니다.

CHSH 게임

이 강의에서 논의할 마지막 예시는 프로토콜이 아니라 CHSH 게임이라고 불리는 게임입니다.

이 맥락에서 게임이라고 말할 때, 우리는 재미나 스포츠를 위해 플레이하는 것을 의미하는 것이 아니라 게임 이론의 의미에서 수학적 추상화를 말하는 것입니다.

CHSH라는 글자는 1969년 논문에서 이 예시가 처음 설명된 저자들 — John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony, Richard Holt — 을 가리킵니다. 그들은 이 예시를 게임으로 설명하지 않고 실험으로 설명했습니다. 그러나 게임으로의 설명은 자연스럽고 직관적입니다.

CHSH 게임은 비국소 게임(nonlocal games)이라고 불리는 게임 클래스에 속합니다.

비국소 게임 (Nonlocal Games)

비국소 게임(nonlocal game)은 두 플레이어인 Alice와 Bob이 특정 결과를 달성하기 위해 함께 작동하는 협력 게임(cooperative game)입니다. 게임은 Alice와 Bob에게 알려진 엄격한 지침에 따라 행동하는 심판(referee)에 의해 실행됩니다.

Alice와 Bob은 게임을 위해 원하는 대로 준비할 수 있지만, 게임이 시작되면 통신이 금지됩니다.

비국소 게임이 작동하는 방식은 심판이 먼저 Alice와 Bob에게 각각 질문을 하는 것입니다. $x$는 Alice의 질문을 나타내고 $y$는 Bob의 질문을 나타냅니다. 여기서 $x$와 $y$는 고전 상태로 생각되며, CHSH 게임에서 $x$와 $y$는 비트입니다.

심판은 무작위성을 사용하여 이러한 질문을 선택합니다. 정확히 말하면, 각 가능한 질문 쌍 $(x,y)$에 대해 확률 $p(x,y)$가 있으며, 심판은 게임 시점에 이 방식으로 질문을 무작위로 선택하기로 맹세했습니다.

Alice와 Bob이 질문을 받은 후, 그들은 답변을 제공해야 합니다: Alice의 답변은 $a$이고 Bob의 답변은 $b$입니다. 다시 말하지만, 이것들은 일반적으로 고전 상태이며, CHSH 게임에서는 비트입니다.

이 시점에서 심판은 결정을 내립니다: 답변 쌍 $(a,b)$가 질문 쌍 $(x,y)$에 대해 고정된 규칙 집합에 따라 올바른 것으로 간주되는지 여부에 따라 Alice와 Bob은 승리하거나 패배합니다.

CHSH 게임 설명

다음은 CHSH 게임의 정확한 설명입니다. 여기서 (위와 같이) $x$는 Alice의 질문, $y$는 Bob의 질문, $a$는 Alice의 답변, $b$는 Bob의 답변입니다:

• 질문과 답변은 모두 비트입니다: $x,y,a,b\in\{0,1\}$.
• 심판은 질문 $(x,y)$를 균등하게 무작위로 선택합니다. 즉, 네 가지 가능성 $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$, $(1,1)$ 각각이 확률 $1/4$로 선택됩니다.
• 답변 $(a,b)$는 질문 $(x,y)$에 대해 $a\oplus b = x\wedge y$이면 승리하고, 그렇지 않으면 패배합니다. 다음 표는 각 질문 쌍 $(x,y)$에 대해 답변 $(a,b)$의 승리 및 패배 조건을 나열합니다.

$$\begin{array}{ccc} (x,y) & \text{승리} & \text{패배} \\[1mm]\hline \rule{0mm}{4mm}(0,0) & a = b & a \neq b \\[1mm] (0,1) & a = b & a \neq b \\[1mm] (1,0) & a = b & a \neq b \\[1mm] (1,1) & a \neq b & a = b \end{array}$$

고전 전략의 한계

결정론적 전략 (Deterministic Strategies)

결정론적 전략(deterministic strategy)에서 Alice의 답변 $a$는 그녀가 받은 질문 $x$의 함수이고, 마찬가지로 Bob의 답변 $b$는 그가 받은 질문 $y$의 함수입니다.

결정론적 전략으로는 CHSH 게임을 항상 이길 수 없습니다. 이를 이해하는 한 가지 방법은 단순히 모든 가능한 결정론적 전략을 하나씩 살펴보고 각각이 네 가지 가능한 질문 쌍 중 적어도 하나에 대해 패배한다는 것을 확인하는 것입니다.

우리는 분석적으로도 이를 추론할 수 있습니다. Alice와 Bob의 전략이 $(x,y) = (0,0)$일 때 승리한다면, $a(0) = b(0)$이어야 합니다. 전략이 $(x,y) = (0,1)$일 때 승리한다면, $a(0) = b(1)$이어야 합니다. 유사하게, 전략이 $(x,y)=(1,0)$에 대해 승리한다면 $a(1) = b(0)$입니다. 따라서 전략이 세 가지 가능성 모두에 대해 승리한다면:

$$b(1) = a(0) = b(0) = a(1).$$

이것은 전략이 최종 경우 $(x,y) = (1,1)$에서 패배한다는 것을 의미하며, 여기서 승리하려면 $a(1) \neq b(1)$이 필요합니다. 따라서 항상 이기는 결정론적 전략은 있을 수 없습니다.

반면에, 네 가지 경우 중 세 가지에서 승리하는 결정론적 전략을 찾는 것은 쉽습니다. 예를 들어 $a(0)=a(1)=b(0)=b(1)=0$입니다. 이것으로부터 우리는 결정론적 전략을 사용하여 Alice와 Bob이 승리할 수 있는 최대 확률이 $3/4$라는 결론을 내립니다.

확률적 전략 (Probabilistic Strategies)

결정론적 전략을 사용하여 CHSH 게임을 75%의 시간 동안 이길 수 있는 것보다 더 잘 할 수 없다는 것을 방금 결론지었습니다. 그러나 확률적 전략은 어떻습니까? Alice와 Bob이 무작위성을 사용하는 것이 도움이 될 수 있습니까 — 그들의 무작위 선택이 상관관계를 가질 수 있는 공유 무작위성(shared randomness)의 가능성을 포함하여?

확률적 전략은 Alice와 Bob이 승리할 확률을 증가시키는 데 전혀 도움이 되지 않는다는 것이 밝혀졌습니다. 이것은 모든 확률적 전략이 결정론적 전략의 무작위 선택으로 대안적으로 볼 수 있기 때문입니다. 평균은 최대보다 크지 않으므로, 확률적 전략이 전체 승리 확률 측면에서 어떤 이점도 제공하지 않는다는 것이 따릅니다.

따라서 확률 $3/4$로 승리하는 것은 결정론적이든 확률적이든 모든 고전 전략을 사용하여 Alice와 Bob이 할 수 있는 최선입니다.

CHSH 게임 전략

이 시점에서 자연스러운 질문은 Alice와 Bob이 양자 전략을 사용하여 더 잘 할 수 있는지 여부입니다. 특히, 그들이 다음 그림이 제안하는 것처럼 얽힌 양자 상태를 공유한다면, 게임을 플레이하기 전에 준비할 수 있었던 것, 그들이 승리 확률을 증가시킬 수 있습니까?

답은 예이며, 이것이 예시의 주요 요점이고 왜 그것이 매우 흥미로운지입니다.

필요한 벡터와 행렬

먼저 각 실수 $\theta$ (라디안으로 측정된 각도로 생각할 수 있음)에 대해 qubit 상태 벡터 $|\psi_{\theta}\rangle$를 다음과 같이 정의해야 합니다:

$$|\psi_{\theta}\rangle = \cos(\theta)|0\rangle + \sin(\theta) |1\rangle$$

일부 간단한 예시:

$$\begin{aligned} |\psi_{0}\rangle & = |0\rangle \\ |\psi_{\pi/2}\rangle & = |1\rangle \\ |\psi_{\pi/4}\rangle & = |+\rangle \\ |\psi_{-\pi/4}\rangle & = |- \rangle \end{aligned}$$

일반적인 형태를 보면, 이러한 벡터 중 임의의 두 벡터 사이의 내적은 다음 공식을 가집니다:

$$\langle \psi_{\alpha} | \psi_{\beta} \rangle = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha-\beta).$$

이러한 벡터 중 임의의 두 벡터의 텐서 곱과 $|\phi^+\rangle$ 상태의 내적을 계산하면, 분모에 $\sqrt{2}$가 있는 것을 제외하고는 유사한 표현을 얻습니다:

$$\langle \psi_{\alpha} \otimes \psi_{\beta} | \phi^+ \rangle = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sqrt{2}} = \frac{\cos(\alpha-\beta)}{\sqrt{2}}.$$

다음으로, 각 각도 $\theta$에 대해 유니터리 행렬 $U_{\theta}$를 다음과 같이 정의합니다:

$$U_{\theta} = |0 \rangle \langle \psi_{\theta} | + |1\rangle\langle \psi_{\theta+\pi/2} |$$

직관적으로 말하면, 이 행렬은 $|\psi_{\theta}\rangle$를 $|0\rangle$로 변환하고 $|\psi_{\theta + \pi/2}\rangle$를 $|1\rangle$로 변환합니다.

전략 설명

양자 전략을 설명할 수 있습니다:

• 설정: Alice와 Bob은 게임을 시작할 때 e-bit을 공유합니다: Alice는 qubit $\mathsf{A}$를 가지고 있고, Bob은 qubit $\mathsf{B}$를 가지고 있으며, 두 qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$는 $|\phi^+\rangle$ 상태에 있습니다.

• Alice의 동작:

  • Alice가 질문 $x=0$을 받으면, qubit $\mathsf{A}$에 $U_{0}$를 적용합니다.
  • Alice가 질문 $x=1$을 받으면, qubit $\mathsf{A}$에 $U_{\pi/4}$를 적용합니다.

  Alice가 $\mathsf{A}$에 수행하는 연산은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

  $$\begin{cases} U_0 & \text{if $x = 0$}\\ U_{\pi/4} & \text{if $x = 1$} \end{cases}$$

  Alice가 이 연산을 적용한 후, $\mathsf{A}$를 표준 기저 측정으로 측정하고 답변 $a$를 측정 결과로 설정합니다.

• Bob의 동작:

  • Bob이 질문 $y=0$을 받으면, qubit $\mathsf{B}$에 $U_{\pi/8}$를 적용합니다.
  • Bob이 질문 $y=1$을 받으면, qubit $\mathsf{B}$에 $U_{-\pi/8}$를 적용합니다.

  Bob이 $\mathsf{B}$에 수행하는 연산은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

  $$\begin{cases} U_{\pi/8} & \text{if $y = 0$}\\ U_{-\pi/8} & \text{if $y = 1$} \end{cases}$$

  Bob이 이 연산을 적용한 후, $\mathsf{B}$를 표준 기저 측정으로 측정하고 답변 $b$를 측정 결과로 설정합니다.

경우별 분석

네 가지 가능한 질문 쌍을 각각 살펴보면, 이 전략이 모든 경우에 동일한 확률로 작동한다는 것을 알 수 있습니다:

$$\frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.85.$$

이것은 따라서 그들이 전체적으로 승리할 확률입니다. 이것은 이 게임에 대해 고전 전략이 할 수 있는 것보다 훨씬 낫습니다. 고전 전략은 승리 확률이 $3/4$로 제한됩니다.

이것은 양자 전략에 대한 최적 승리 확률입니다. 즉, 어떤 얽힌 상태나 측정을 선택하더라도 이것보다 더 잘 할 수 없습니다. 이 사실은 Tsirelson's inequality (치렐손 부등식)로 알려져 있으며, 이를 처음 증명하고 CHSH 실험을 게임으로 처음 설명한 Boris Tsirelson의 이름을 따서 명명되었습니다.

용어 설명: CHSH 게임

• 의미: 비국소 게임(nonlocal game)의 한 예시로, 얽힘을 사용하면 고전 전략보다 더 높은 승리 확률을 얻을 수 있음을 보여줍니다
• 발음: "씨에이치에스에이치 게임" 또는 "CHSH game"
• CHSH: John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony, Richard Holt의 머리글자
• 고전 전략 한계: 최대 승리 확률 $3/4 = 0.75$
• 양자 전략 성능: 승리 확률 $\frac{2+\sqrt{2}}{4} \approx 0.85$
• 의의: Bell test의 한 예시로, 양자 역학이 국소 숨은 변수 이론(local hidden variable theories)과 호환되지 않음을 보여줍니다

용어 설명: Tsirelson's inequality (치렐손 부등식)

• 의미: CHSH 게임에서 양자 전략의 최적 승리 확률을 제한하는 부등식
• 발음: "치렐손 부등식" 또는 "Tsirelson's inequality"
• 내용: 양자 전략으로는 $\frac{2+\sqrt{2}}{4}$보다 더 높은 승리 확률을 얻을 수 없습니다
• 증명: Boris Tsirelson에 의해 처음 증명되었습니다

CHSH 게임에 대한 설명

CHSH 게임과 같은 실험의 기본 아이디어는 얽힘이 순수한 고전적 추론과 일치하지 않는 통계적 결과로 이어진다는 것으로, Bell 상태의 이름을 딴 John Bell의 것입니다. 이러한 이유로, 사람들은 종종 이러한 종류의 실험을 Bell test (벨 테스트)라고 부릅니다.

CHSH 게임은 양자 정보 이론을 실험적으로 테스트하는 방법을 제공합니다. CHSH 게임을 구현하는 실험을 수행하고 위에서 설명한 얽힘 기반 전략을 테스트할 수 있습니다. 이것은 얽힘이 실재한다는 것에 대한 높은 수준의 확신을 제공합니다.

2022년 노벨 물리학상은 이 연구 분야의 중요성을 인정합니다: 상은 얽힌 광자에 대한 Bell test를 통해 얽힘을 관찰한 Alain Aspect, John Clauser (CHSH의 C), Anton Zeilinger에게 수여되었습니다.

CHSH 게임 상세 설명

CHSH 게임은 비국소성(nonlocality)을 보여주는 가장 깨끗하고 간단한 예시 중 하나입니다. 이 게임은:

1. 고전적 한계: 어떤 고전 전략도 75% 이상의 승리 확률을 얻을 수 없습니다.
2. 양자적 이점: 얽힘을 사용하면 약 85%의 승리 확률을 얻을 수 있습니다.
3. 최적성: Tsirelson's inequality에 의해, 이것이 양자 전략으로 얻을 수 있는 최선입니다.

이 게임은 양자 역학이 국소 숨은 변수 이론과 호환되지 않는다는 Bell's theorem의 증명 또는 시연으로 볼 수 있습니다.

Qiskit 구현: 양자 순간이동

다음은 Qiskit을 사용한 양자 순간이동 프로토콜의 구현 예제입니다:

qubit = QuantumRegister(1, "Q")
ebit0 = QuantumRegister(1, "A")
ebit1 = QuantumRegister(1, "B")
a = ClassicalRegister(1, "a")
b = ClassicalRegister(1, "b")

protocol = QuantumCircuit(qubit, ebit0, ebit1, a, b)

# 순간이동에 사용할 e-bit 준비
protocol.h(ebit0)
protocol.cx(ebit0, ebit1)
protocol.barrier()

# Alice의 연산
protocol.cx(qubit, ebit0)
protocol.h(qubit)
protocol.barrier()

# Alice가 측정하고 Bob에게 고전 비트 전송
protocol.measure(ebit0, a)
protocol.measure(qubit, b)
protocol.barrier()

# Bob이 고전 비트를 사용하여 조건부로 게이트 적용
with protocol.if_test((a, 1)):
    protocol.x(ebit1)
with protocol.if_test((b, 1)):
    protocol.z(ebit1)

이 회로는 barrier와 if_test 함수를 사용합니다. barrier 함수는 시각적 분리를 만들고, 실제 하드웨어에서 회로를 실행할 때 컴파일 중에 다양한 단순화와 최적화를 방지합니다. if_test 함수는 고전 비트나 레지스터에 따라 조건부로 연산을 적용합니다.

Qiskit 구현: 초밀도 코딩

다음은 초밀도 코딩 프로토콜의 간단한 구현입니다:

protocol = QuantumCircuit(2)

# 초밀도 코딩에 사용할 e-bit 준비
protocol.h(0)
protocol.cx(0, 1)
protocol.barrier()

# Alice의 연산 (비트 c와 d에 따라)
if d == "1":
    protocol.z(0)
if c == "1":
    protocol.x(0)
protocol.barrier()

# Bob의 동작
protocol.cx(0, 1)
protocol.h(0)
protocol.measure_all()

이 프로토콜은 Alice가 두 비트 $c$와 $d$를 전송하기 위해 단일 qubit을 보내는 것을 허용합니다.

Qiskit 구현: CHSH 게임

CHSH 게임과 위에서 정의한 양자 전략을 Qiskit으로 구현할 수 있습니다:

def chsh_circuit(x, y):
    qc = QuantumCircuit(2, 2)
    
    # e-bit 준비
    qc.h(0)
    qc.cx(0, 1)
    qc.barrier()
    
    # Alice의 동작
    if x == 0:
        qc.ry(0, 0)
    else:
        qc.ry(-pi / 2, 0)
    qc.measure(0, 0)
    
    # Bob의 동작
    if y == 0:
        qc.ry(-pi / 4, 1)
    else:
        qc.ry(pi / 4, 1)
    qc.measure(1, 1)
    
    return qc

이 구현은 내장된 $R_y(\theta)$ 게이트를 사용하여 Alice와 Bob의 동작을 수행합니다.

결론

1. 양자 순간이동 (Quantum Teleportation): 공유된 얽힘과 고전 통신을 사용하여 qubit을 전송하는 프로토콜
2. 초밀도 코딩 (Superdense Coding): 공유된 얽힘과 양자 통신을 사용하여 고전 정보의 전송 용량을 두 배로 늘리는 프로토콜
3. CHSH 게임: 얽힘을 사용하면 고전 전략보다 더 높은 성능을 얻을 수 있음을 보여주는 비국소 게임

이 세 가지 예시는 모두 얽힘이 양자 정보와 계산에서 중요한 자원임을 보여줍니다. 특히, 이들은 얽힘이 고전적으로 설명할 수 없는 양자적 상관관계를 나타내는 것을 보여줍니다.